绝对值

文章目录

绝对值绝对值的数学意义最小距离和推理过程结论

例题：最小距离和思考过程解：

后记

绝对值绝对是大多数人率先学习的知识，这是奥数竞赛，故不详细展开说绝对值的基本意义了

通俗来讲：

//绝对值函数

double abs(double a){

if(a>=0)return a;

return -a;

}

//如果要用数学符号表示，这个函数返回的就是|a|(a∈Z)

绝对值的数学意义

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”表示。绝对值是初中代数中的一个基本概念，广泛应用于解代数式、方程和不等式等问题。在代数运算和几何应用中，绝对值的性质也非常重要。

无论如何，一个数的绝对值都是非负的（最小为0）

也就是说，绝对值是非常重要的一个工具，奥数题中也常常看见他。

在几何意义上，|a-b|表示数轴上a表示的点A和b表示的点B之间的距离，也可记作|AB|。

（|a-b|=|b-a|,所以与顺序无关）

最小距离和

推理过程

如果有一数m表示的点为M时，要想满足|m-a|+|m-b|最小，m的取值范围应在a和b之间。

此时，|m-a|+|m-b|=|a-b|.

因为|m-a|+|m-b|即为M到A的距离+M到B的距离，显然当M在A和B之间时，他最小。

如果再加一个点C,表示的数是c.要想让|m-a|+|m-b|+|m-c|最小（不妨设a≤b≤c)，m应等于b.

此时，|m-a|+|m-b|+|m-c|=|a-c|.

如果只有AC两点，M只需要在A和C之间就可以了

但还要加一个|MB|…只能让他=0了

结论

综上，我们可以得出一个重要的结论：

若数轴上除M外有偶数个点，则M在最中间的两个点之间时，M点到其他所有点的距离和最小。

若数轴上除M外有奇数个点，则M和最中间的那个点重合时，M点到其他所有点的距离和最小。

如果用数学的语言来讲，那就是：

若有n个实数a₁,a₂…an满足a₁≤a₂≤…≤an，S=|m-a₁|+|m-a₂|+…+|m-an|

若n是偶数，当a_{n/2}≤m≤a_{n/2+1}时，S的值最小。

若n是奇数，当m=a_{(n+1)/2}时，S的值最小。

例题：最小距离和

若已知实数a,b,c,满足c<00

求当实数x为何时，|x-(a+b)/2|+|x-(b+c)/2|+|x+(c+a)/2|最小.

思考过程

乍一看：好复杂！

复杂不代表难，仔细观察：

最小值、绝对值、求和…

🤓👆哎，我有一计

求出（a+b)/2、(b+c)/2、-(c+a)/2 (注意是负的)的大小关系，借助之前学的最小距离和就能求出x。

解：

由题意易知：（a+b)/2>0、(b+c)/2>0、-(c+a)/2<0,且(a+b)/2>(b+c)/2.

=> -(c+a)/2<(b+c)/2<(a+b)/2

又原式=|x-(a+b)/2|+|x-(b+c)/2|+|x-（ -(c+a)/2）|。 综上， 易知x=(b+c)/2时，原式有最小值(a+b)/2-(-(c+a)/2)=(2a+b+c)/2.

后记

这本来是我的数学笔记，现在一直忙于将笔记誊到维克日记（非常好的一个工具，以后有时间好好推荐一下）上，突然想到Markdown格式刚好可以发到网站上，就粘了一篇发一下，希望能有些帮助。 图片是用desmos做的，也是非常好的一个工具。 （求点赞，关注）