数学笔记·绝对值

2025-06-25 15:48:44

绝对值

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绝对值绝对值的数学意义最小距离和推理过程结论

例题:最小距离和思考过程解:

后记

绝对值绝对是大多数人率先学习的知识,这是奥数竞赛,故不详细展开说绝对值的基本意义了

通俗来讲:

//绝对值函数

double abs(double a){

if(a>=0)return a;

return -a;

}

//如果要用数学符号表示,这个函数返回的就是|a|(a∈Z)

绝对值的数学意义

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离,用“| |”表示。绝对值是初中代数中的一个基本概念,广泛应用于解代数式、方程和不等式等问题。在代数运算和几何应用中,绝对值的性质也非常重要。

无论如何,一个数的绝对值都是非负的(最小为0)

也就是说,绝对值是非常重要的一个工具,奥数题中也常常看见他。

在几何意义上,|a-b|表示数轴上a表示的点A和b表示的点B之间的距离,也可记作|AB|。

(|a-b|=|b-a|,所以与顺序无关)

最小距离和

推理过程

如果有一数m表示的点为M时,要想满足|m-a|+|m-b|最小,m的取值范围应在a和b之间。

此时,|m-a|+|m-b|=|a-b|.

因为|m-a|+|m-b|即为M到A的距离+M到B的距离,显然当M在A和B之间时,他最小。

如果再加一个点C,表示的数是c.要想让|m-a|+|m-b|+|m-c|最小(不妨设a≤b≤c),m应等于b.

此时,|m-a|+|m-b|+|m-c|=|a-c|.

如果只有AC两点,M只需要在A和C之间就可以了

但还要加一个|MB|…只能让他=0了

结论

综上,我们可以得出一个重要的结论:

若数轴上除M外有偶数个点,则M在最中间的两个点之间时,M点到其他所有点的距离和最小。

若数轴上除M外有奇数个点,则M和最中间的那个点重合时,M点到其他所有点的距离和最小。

如果用数学的语言来讲,那就是:

若有n个实数a₁,a₂…an满足a₁≤a₂≤…≤an,S=|m-a₁|+|m-a₂|+…+|m-an|

若n是偶数,当a_{n/2}≤m≤a_{n/2+1}时,S的值最小。

若n是奇数,当m=a_{(n+1)/2}时,S的值最小。

例题:最小距离和

若已知实数a,b,c,满足c<00

求当实数x为何时,|x-(a+b)/2|+|x-(b+c)/2|+|x+(c+a)/2|最小.

思考过程

乍一看:好复杂!

复杂不代表难,仔细观察:

最小值、绝对值、求和…

🤓👆哎,我有一计

求出(a+b)/2、(b+c)/2、-(c+a)/2 (注意是负的)的大小关系,借助之前学的最小距离和就能求出x。

解:

由题意易知:(a+b)/2>0、(b+c)/2>0、-(c+a)/2<0,且(a+b)/2>(b+c)/2.

=> -(c+a)/2<(b+c)/2<(a+b)/2

又原式=|x-(a+b)/2|+|x-(b+c)/2|+|x-( -(c+a)/2)|。 综上, 易知x=(b+c)/2时,原式有最小值(a+b)/2-(-(c+a)/2)=(2a+b+c)/2.

后记

这本来是我的数学笔记,现在一直忙于将笔记誊到维克日记(非常好的一个工具,以后有时间好好推荐一下)上,突然想到Markdown格式刚好可以发到网站上,就粘了一篇发一下,希望能有些帮助。 图片是用desmos做的,也是非常好的一个工具。 (求点赞,关注)